मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण x dy = (y + x^3 | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy = (y + x^3 \cos x) dx$दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{x dy - y dx}{x^2} = x \cos x dx$यह भागफल नियम क

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$\frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy = (y + x^3 \cos x) dx$दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{x dy - y dx}{x^2} = x \cos x dx$यह भागफल नियम का अवकलन है: $d(\frac{y}{x}) = x \cos x dx$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int d(\frac{y}{x}) = \int x \cos x dx$खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\frac{y}{x} = x \sin x - \int \sin x dx$$\frac{y}{x} = x \sin x + \cos x + C$चूंकि $y(\pi) = 0$ दिया गया है,$x = \pi$ और $y = 0$ रखने पर: $0 = \pi \sin(\pi) + \cos(\pi) + C$$0 = 0 - 1 + C \implies C = 1$अतः,$\frac{y}{x} = x \sin x + \cos x + 1$$y = x^2 \sin x + x \cos x + x$अब,$y(\frac{\pi}{2})$ का मान ज्ञात करने पर: $y(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2})^2 \sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2}$$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{4}(1) + \frac{\pi}{2}(0) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2}$

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x dy = (y + x^3 \cos x) dx$ का हल है,जहाँ $y(\pi) = 0$ है। तो $y(\frac{\pi}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

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