frac{dy}{dx} + y tan x = 2x + x^2 tan x का व् | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y 	an x = 2x + x^2 	an x$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 	an

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$y = x^2 + c \cos x$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y 	an x = 2x + x^2 	an x$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 	an x$ और $Q = 2x + x^2 	an x$ है। सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 	an x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$. व्यापक हल इस प्रकार है: $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ $y \sec x = \int (2x + x^2 	an x) \sec x dx + c$ $y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 	an x \sec x dx + c$ दूसरे समाकलन $\int x^2 (	an x \sec x) dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: माना $u = x^2$ और $dv = \sec x 	an x dx$. तब $du = 2x dx$ और $v = \sec x$. $\int x^2 \sec x 	an x dx = x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx$. इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $y \sec x = \int 2x \sec x dx + (x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx) + c$ $y \sec x = x^2 \sec x + c$ दोनों पक्षों को $\cos x$ से गुणा करने पर: $y = x^2 + c \cos x$.

$\frac{dy}{dx} + y \tan x = 2x + x^2 \tan x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए:

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एक फलन $y = f(x)$,$(x + 1)f'(x) - 2(x^2 + x)f(x) = \frac{e^{x^2}}{(x + 1)}$ को संतुष्ट करता है। यदि $f(0) = 5$ है,तो $f(x)$ क्या है?

$e^{y-x} \frac{dy}{dx} = \frac{y(\sin x + \cos x)}{1 + y \log y}$ का हल है

अवकल समीकरण $(y^2+x+1) dy = (y+1) dx$ का व्यापक हल है

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^3 - 3$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $\frac{dy}{dx} - 3y \cot x = \sin 2x$; जब $x = \frac{\pi}{2}$ तब $y = 2$।

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