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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - 3y \cot x = \sin 2x$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -3 \cot x$

Vedclass · Accepted Answer

$y = 4 \sin^3 x - 2 \sin^2 x$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - 3y \cot x = \sin 2x$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -3 \cot x$ और $Q = \sin 2x$ है। समाकलन गुणक $(I.F.)$ $= e^{\int P dx} = e^{-3 \int \cot x dx} = e^{-3 \ln |\sin x|} = e^{\ln |\sin x|^{-3}} = \frac{1}{\sin^3 x}$। व्यापक हल $y(I.F.) = \int (Q 	imes I.F.) dx + C$ है। $y \cdot \frac{1}{\sin^3 x} = \int \left( \sin 2x \cdot \frac{1}{\sin^3 x} ight) dx + C$। चूँकि $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,इसलिए $y \cdot \frac{1}{\sin^3 x} = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\sin^3 x} dx + C = 2 \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx + C$। $u = \sin x$ लेने पर,$du = \cos x dx$ प्राप्त होता है। समाकलन $2 \int u^{-2} du = -2u^{-1} = -\frac{2}{\sin x}$ हो जाता है। अतः,$\frac{y}{\sin^3 x} = -\frac{2}{\sin x} + C$। $\sin^3 x$ से गुणा करने पर,$y = -2 \sin^2 x + C \sin^3 x$ प्राप्त होता है। $x = \frac{\pi}{2}$ पर $y = 2$ दिया गया है,इसलिए $2 = -2 \sin^2(\frac{\pi}{2}) + C \sin^3(\frac{\pi}{2}) \Rightarrow 2 = -2(1) + C(1) \Rightarrow C = 4$। अतः,विशिष्ट हल $y = 4 \sin^3 x - 2 \sin^2 x$ है।

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $\frac{dy}{dx} - 3y \cot x = \sin 2x$; जब $x = \frac{\pi}{2}$ तब $y = 2$।

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