मूल बिंदु से गुजरने वाले और अवकल समीकरण (1+x^ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ है। $(1+x^2)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x^2}{1+x^2

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$3(1+x^2)y = 4x^3$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ है। $(1+x^2)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x^2}{1+x^2}$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ और $Q(x) = \frac{4x^2}{1+x^2}$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ है। व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ है। $y(1+x^2) = \int \frac{4x^2}{1+x^2} \cdot (1+x^2) dx + C$. $y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + C$. $y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3} + C$. चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=0$ रखने पर: $0(1+0) = 0 + C \implies C = 0$. अतः,समीकरण $y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3}$ है,जिसे सरल करने पर $3(1+x^2)y = 4x^3$ प्राप्त होता है।

मूल बिंदु से गुजरने वाले और अवकल समीकरण $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ को संतुष्ट करने वाले वक्र का समीकरण है:

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