अवकल समीकरण $y+\cos x(\frac{dy}{dx})-\cos^2 x=0$ का व्यापक हल है

मान लीजिए कि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $x\sqrt{1-x^2} dy + (y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x) dx = 0$ का हल है, जहाँ $x \in (0, 1)$ और $\lim_{x\to 1^-} y(x) = 1$ है। तब $y\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f : (0, \infty) \to (2, 20)$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $\lim_{x \to \infty} (f(x) + f'(x) + f''(x)) = \lim_{x \to \infty} g(x)$,जहाँ $\lim_{x \to \infty} g(x)$ का अस्तित्व है और यह $5$ के बराबर है,तो $\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x))$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:[1, \infty) \rightarrow [2, \infty)$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f(1)=2$ है। यदि $6 \int_1^x f(t) dt = 3x f(x) - x^3$ सभी $x \geq 1$ के लिए सत्य है,तो $f(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक फलन $y = f(x)$ जो अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} \sin x - y \cos x + \frac{\sin^2 x}{x^2} = 0$ को संतुष्ट करता है,इस प्रकार है कि $x \rightarrow \infty$ होने पर $y \rightarrow 0$ होता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = \tan x \sec^2 x$ का हल ज्ञात कीजिए।