एक फलन y = f(x) जो अवकल समीकरण frac{dy}{dx} s | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} \sin x - y \cos x = -\frac{\sin^2 x}{x^2}$ है।$\sin^2 x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{\sin x} \frac{dy}{dx} -

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उपरोक्त सभी

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} \sin x - y \cos x = -\frac{\sin^2 x}{x^2}$ है।$\sin^2 x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{\sin x} \frac{dy}{dx} - y \frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{\sin x} ight) = -\frac{1}{x^2}$ के बराबर है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\frac{y}{\sin x} = \int -\frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{x} + C$ प्राप्त होता है।अतः,$y = \sin x \left( \frac{1}{x} + C ight)$।दिया है कि $x ightarrow \infty$ पर $y ightarrow 0$,इसलिए $C = 0$ होना चाहिए,अर्थात $f(x) = \frac{\sin x}{x}$।$1$. $\mathop {Lim}\limits_{x 	o 0} f(x) = \mathop {Lim}\limits_{x 	o 0} \frac{\sin x}{x} = 1$।$2$. चूंकि $x > 0$ के लिए $\sin x $3$. श्रेणी विस्तार $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \dots$ का उपयोग करते हुए,समाकलन $\int_0^{\pi/2} (1 - \frac{x^2}{6}) dx = [x - \frac{x^3}{18}]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi^3}{144} \approx 1.57 - 0.21 = 1.36 > 1$।अतः,सभी कथन सही हैं।

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