मान लीजिए कि f(x) एक अवकलनीय वास्तविक फलन है, | vedclass

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Question

(D) दी गई असमिका $f(x) + f'(x) \le 1$ है।दोनों पक्षों को समाकलन गुणक $e^x$ से गुणा करने पर:$e^x f'(x) + e^x f(x) \le e^x$इसे गुणनफल के अवकलज के रूप मे

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$\frac{e-1}{e}$

Vedclass · Answer

(D) दी गई असमिका $f(x) + f'(x) \le 1$ है।दोनों पक्षों को समाकलन गुणक $e^x$ से गुणा करने पर:$e^x f'(x) + e^x f(x) \le e^x$इसे गुणनफल के अवकलज के रूप में लिखा जा सकता है:$\frac{d}{dx} (f(x) e^x) \le e^x$अब,दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर:$\int_{0}^{1} \frac{d}{dx} (f(x) e^x) dx \le \int_{0}^{1} e^x dx$$[f(x) e^x]_{0}^{1} \le [e^x]_{0}^{1}$$f(1) e^1 - f(0) e^0 \le e^1 - e^0$चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए:$f(1) e \le e - 1$$f(1) \le \frac{e-1}{e}$अतः,$f(1)$ का अधिकतम संभव मान $\frac{e-1}{e}$ है।

मान लीजिए कि $f(x)$ एक अवकलनीय वास्तविक फलन है,इस प्रकार कि सभी $x$ के लिए $f(x) + f'(x) \le 1$ और $f(0)=0$ है। $f(1)$ का अधिकतम संभव मान क्या है?

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