$(1,2)$ से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण क्या है जिसका स्पर्शक किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर $X$-अक्ष के साथ $\tan ^{-1}(2 x+3 y)$ का कोण बनाता है .........

अवकल समीकरण $(\tan ^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

यदि $y(x)$ अवकल समीकरण $y^{\prime}-y \tan x=2 x \sec x$ और $y(0)=0$ को संतुष्ट करता है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$
$(B)$ $y(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi^2}{9}$
$(C)$ $y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}} + \frac{\pi}{\sqrt{2}}$
$(D)$ $y'(\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi^2\sqrt{3}}{9}$

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y = f(x)$ का हल है,जहाँ $f(x) = \begin{cases} 1, & x \in [0, 1] \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$ है। यदि $y(0) = 0$ है,तो $y\left(\frac{3}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+2y \sec^2 x = 2 \sec^2 x + 3 \tan x \cdot \sec^2 x$ का हल है,जहाँ $y(0)=\frac{5}{4}$ है। तो $12\left(y\left(\frac{\pi}{4}\right)-e^{-2}\right)$ का मान . . . . . . है।

$\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ का हल है