यदि y(x) अवकल समीकरण y^{prime}-y tan x=2 x se | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y 	an x = 2x \sec x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -	an x$ और

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$(A, D)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y 	an x = 2x \sec x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -	an x$ और $Q = 2x \sec x$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{-\int 	an x dx} = e^{-\ln(\sec x)} = \cos x$ है।दोनों पक्षों को $I$.$F$. से गुणा करने पर,हमें $\frac{d}{dx}(y \cos x) = 2x \sec x \cdot \cos x = 2x$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y \cos x = x^2 + C$ प्राप्त होता है।दिया है $y(0) = 0$,इसलिए $0 = 0^2 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$ है।अतः,$y = x^2 \sec x$ प्राप्त होता है।विकल्प $(A)$ के लिए: $y(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^2 \sec(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{16} \cdot \sqrt{2} = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$। यह सत्य है।विकल्प $(D)$ के लिए: $y'(x) = 2x \sec x + x^2 \sec x 	an x$ है।$y'(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{\pi}{3}) \sec(\frac{\pi}{3}) + (\frac{\pi}{3})^2 \sec(\frac{\pi}{3}) 	an(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{\pi}{3})(2) + \frac{\pi^2}{9}(2)(\sqrt{3}) = \frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi^2\sqrt{3}}{9}$। यह सत्य है।इसलिए,विकल्प $(A)$ और $(D)$ सही हैं।

यदि $y(x)$ अवकल समीकरण $y^{\prime}-y \tan x=2 x \sec x$ और $y(0)=0$ को संतुष्ट करता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल कीजिए: $\left(x^2+1\right) \frac{dy}{dx} + 4xy = \frac{1}{x^2+1}$

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