यदि एक वक्र बिंदु (1, -2) से होकर गुजरता है औ | vedclass

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Question

(B) स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 2y}{x}$ द्वारा दी गई है।इसे एक रैखिक अवकल समीकरण के रूप में फिर से लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx}

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$(\sqrt{3}, 0)$

Vedclass · Answer

(B) स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 2y}{x}$ द्वारा दी गई है।इसे एक रैखिक अवकल समीकरण के रूप में फिर से लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = x$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$ है।सामान्य समाधान $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$।चूंकि वक्र $(1, -2)$ से होकर गुजरता है,हम $x = 1$ और $y = -2$ प्रतिस्थापित करते हैं:$-2(1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \Rightarrow -2 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = -2 - \frac{1}{4} = -\frac{9}{4}$।अतः,वक्र का समीकरण $y x^2 = \frac{x^4}{4} - \frac{9}{4}$ या $4yx^2 = x^4 - 9$ है।विकल्प $(B)$ की जाँच करने पर: $x = \sqrt{3}$ के लिए,$4y(3) = (\sqrt{3})^4 - 9 = 9 - 9 = 0$,इसलिए $y = 0$। अतः,वक्र $(\sqrt{3}, 0)$ से होकर गुजरता है।

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