अवकल समीकरण sin^{2} y frac{dx}{dy} + x = cot | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$. $\sin^{2} y$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} + (\operatorname{cosec}^{2} y)x = \cot

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$x = 1 + \cot y$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$. $\sin^{2} y$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} + (\operatorname{cosec}^{2} y)x = \cot y \operatorname{cosec}^{2} y$. यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \operatorname{cosec}^{2} y$ और $Q(y) = \cot y \operatorname{cosec}^{2} y$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \operatorname{cosec}^{2} y dy} = e^{-\cot y}$ है। हल: $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$. $x e^{-\cot y} = \int \cot y \operatorname{cosec}^{2} y e^{-\cot y} dy + C$. माना $t = -\cot y$,तो $dt = \operatorname{cosec}^{2} y dy$. $x e^{-\cot y} = \int (-t) e^{t} dt + C = -(t e^{t} - e^{t}) + C = e^{t}(1 - t) + C$. $t = -\cot y$ प्रतिस्थापित करने पर: $x e^{-\cot y} = e^{-\cot y}(1 + \cot y) + C$. $x = 0$ और $y = \frac{3\pi}{4}$ रखने पर: $0 = e^{-\cot(3\pi/4)}(1 + \cot(3\pi/4)) + C$. चूँकि $\cot(3\pi/4) = -1$,इसलिए $0 = e^{1}(1 - 1) + C \implies C = 0$. अतः,$x e^{-\cot y} = e^{-\cot y}(1 + \cot y)$,जो सरल होकर $x = 1 + \cot y$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,जब $x = 0$ और $y = \frac{3\pi}{4}$ है।

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