વિકલ સમીકરણ sin^{2} y frac{dx}{dy} + x = cot | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$. $\sin^{2} y$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} + (\operatorname{cosec}^{2} y)x = \cot y \operat

Vedclass · Accepted Answer

$x = 1 + \cot y$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$. $\sin^{2} y$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} + (\operatorname{cosec}^{2} y)x = \cot y \operatorname{cosec}^{2} y$. આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \operatorname{cosec}^{2} y$ અને $Q(y) = \cot y \operatorname{cosec}^{2} y$. વિકલ સમીકરણનો સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \operatorname{cosec}^{2} y dy} = e^{-\cot y}$ છે. ઉકેલ: $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$. $x e^{-\cot y} = \int \cot y \operatorname{cosec}^{2} y e^{-\cot y} dy + C$. ધારો કે $t = -\cot y$,તો $dt = \operatorname{cosec}^{2} y dy$. $x e^{-\cot y} = \int (-t) e^{t} dt + C = -(t e^{t} - e^{t}) + C = e^{t}(1 - t) + C$. $t = -\cot y$ મૂકતા: $x e^{-\cot y} = e^{-\cot y}(1 + \cot y) + C$. $x = 0$ અને $y = \frac{3\pi}{4}$ લેતા: $0 = e^{-\cot(3\pi/4)}(1 + \cot(3\pi/4)) + C$. $\cot(3\pi/4) = -1$ હોવાથી,$0 = e^{1}(1 - 1) + C \implies C = 0$. તેથી,$x e^{-\cot y} = e^{-\cot y}(1 + \cot y)$,જેનું સાદું રૂપ $x = 1 + \cot y$ મળે છે.

વિકલ સમીકરણ $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યારે $x = 0$ અને $y = \frac{3\pi}{4}$ હોય.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y = x^3 y^6$ નો ઉકેલ છે:

રેખીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શું છે?

સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ નો ઉકેલ,જે $x = \frac{\pi}{3}$ હોય ત્યારે $y = 0$ નું સમાધાન કરે છે,તે શોધો:

જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{2x + 1}{x} \right)y = e^{-2x}, x > 0$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,તો:

વિકલ સમીકરણ $(1 + y^2)dx - (\tan^{-1} y - x)dy = 0$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module