જો y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} + left( fr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 2 + \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = e^{-2x}$ છે.સંકલ્યકારક અ

Vedclass · Accepted Answer

$y(x)$ એ $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ માં ઘટતું વિધેય છે

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 2 + \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = e^{-2x}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int (2 + \frac{1}{x}) dx} = e^{2x + \log_e x} = x e^{2x}$ છે.વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y(x e^{2x}) = \int e^{-2x} \cdot (x e^{2x}) dx + C = \int x dx + C = \frac{x^2}{2} + C$.આપેલ છે કે $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,તેથી $x=1$ અને $y=\frac{1}{2}e^{-2}$ મૂકતા:$\frac{1}{2}e^{-2} \cdot (1 \cdot e^2) = \frac{1^2}{2} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 0$.આમ,$y = \frac{x}{2}e^{-2x}$ મળે છે.વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે તપાસવા માટે,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} e^{-2x} + \frac{x}{2} (-2 e^{-2x}) = \frac{e^{-2x}}{2} (1 - 2x)$ મેળવીએ.જ્યારે $x \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ હોય,ત્યારે $1 - 2x < 0$ થાય,તેથી $\frac{dy}{dx} < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $y(x)$ એ અંતરાલ $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{2x + 1}{x} \right)y = e^{-2x}, x > 0$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,તો:

Similar Questions

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+\frac{5}{x(x^5+1)}y=\frac{(x^5+1)^2}{x^7}$,$x > 0$ માટે ઉકેલ છે. જો $y(1)=2$ હોય,તો $y(2)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sec y \frac{dy}{dx} + 2x \sin y = x^3 \cos y$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જ્યાં $y(1) = 0$ છે. તો $y(\sqrt{3})$ ની કિંમત શોધો:

$\left(x+2 y^3\right) \frac{d y}{d x}=y^2$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+\sin^2 x) \frac{dy}{dx} + y \sin 2x = \cos x + \sin^2 x \cos x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(2x - 10y^3) dy + y dx = 0, y \neq 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module