किन्हीं वास्तविक संख्याओं alpha और beta के लि | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \alpha y = x e^{\beta x}$ है। यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)

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$A, C$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \alpha y = x e^{\beta x}$ है। यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \alpha$ और $Q(x) = x e^{\beta x}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int \alpha dx} = e^{\alpha x}$ है।दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{d}{dx}(y e^{\alpha x}) = x e^{(\alpha+\beta)x}$ प्राप्त होता है।स्थिति $I$: यदि $\alpha + \beta = 0$,तो $\beta = -\alpha$ है। समीकरण $\frac{d}{dx}(y e^{\alpha x}) = x$ बन जाता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y e^{\alpha x} = \frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है। $y(1) = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $1 \cdot e^{\alpha} = \frac{1}{2} + C$ मिलता है,इसलिए $C = e^{\alpha} - \frac{1}{2}$ है। अतः,$y = \frac{x^2}{2} e^{-\alpha x} + (e^{\alpha} - \frac{1}{2}) e^{-\alpha x}$। $\alpha = 1$ के लिए,$y = \frac{x^2}{2} e^{-x} + (e - \frac{1}{2}) e^{-x}$,जो विकल्प $(A)$ से मेल खाता है।स्थिति $II$: यदि $\alpha + \beta 
eq 0$,तो $\int x e^{(\alpha+\beta)x} dx$ का खंडशः समाकलन करने पर $\frac{x e^{(\alpha+\beta)x}}{\alpha+\beta} - \frac{e^{(\alpha+\beta)x}}{(\alpha+\beta)^2} + C$ प्राप्त होता है। अतः,$y e^{\alpha x} = \frac{x e^{(\alpha+\beta)x}}{\alpha+\beta} - \frac{e^{(\alpha+\beta)x}}{(\alpha+\beta)^2} + C$ है। $y(1) = 1$ का उपयोग करने पर,$C = e^{\alpha} - \frac{e^{\alpha+\beta}}{\alpha+\beta} + \frac{e^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)^2}$ प्राप्त होता है। $\alpha = -1, \beta = 2$ के लिए,हमारे पास $\alpha+\beta = 1$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर विकल्प $(C)$ का रूप प्राप्त होता है।अतः,$(A)$ और $(C)$ दोनों $S$ से संबंधित हैं।

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