यदि y=y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx}+2y=sin(2x | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=2$ और $Q=\sin(2x)$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx

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$e^{-\pi/4}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=2$ और $Q=\sin(2x)$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ है।सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।$y \cdot e^{2x} = \int e^{2x} \sin(2x) dx + C$.सूत्र $\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \sin(bx) - b \cos(bx))$ का उपयोग करने पर:$y \cdot e^{2x} = \frac{e^{2x}}{2^2+2^2} (2 \sin(2x) - 2 \cos(2x)) + C = \frac{e^{2x}}{4} (\sin(2x) - \cos(2x)) + C$.चूंकि $y(0) = \frac{3}{4}$ दिया गया है,$x=0$ और $y=\frac{3}{4}$ रखने पर:$\frac{3}{4} \cdot e^0 = \frac{e^0}{4} (\sin(0) - \cos(0)) + C \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{1}{4} (0 - 1) + C \Rightarrow \frac{3}{4} = -\frac{1}{4} + C \Rightarrow C = 1$.अतः,$y \cdot e^{2x} = \frac{e^{2x}}{4} (\sin(2x) - \cos(2x)) + 1$,जिसे सरल करने पर $y = \frac{1}{4} (\sin(2x) - \cos(2x)) + e^{-2x}$ प्राप्त होता है।अब,$x = \frac{\pi}{8}$ पर मान ज्ञात करने पर:$y\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{4} (\sin(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4})) + e^{-2(\frac{\pi}{8})} = \frac{1}{4} (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) + e^{-\pi/4} = 0 + e^{-\pi/4} = e^{-\pi/4}$.

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+2y=\sin(2x)$ का हल है और $y(0)=\frac{3}{4}$ है,तो $y\left(\frac{\pi}{8}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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