मान लीजिए y=y(x), x1,अवकल समीकरण (x-1) frac{ | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x-1) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{x-1}$ है।$(x-1)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{x-1} y=\frac{1}{(x-1)^

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$14$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x-1) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{x-1}$ है।$(x-1)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{x-1} y=\frac{1}{(x-1)^2}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)=\frac{2x}{x-1}=2+\frac{2}{x-1}$ और $Q(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (2+\frac{2}{x-1}) dx} = e^{2x+2\ln(x-1)} = e^{2x}(x-1)^2$ है।व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।$y \cdot e^{2x}(x-1)^2 = \int \frac{1}{(x-1)^2} \cdot e^{2x}(x-1)^2 dx + C = \int e^{2x} dx + C = \frac{e^{2x}}{2} + C$.अतः,$y = \frac{e^{2x}}{2(x-1)^2 e^{2x}} + \frac{C}{(x-1)^2 e^{2x}} = \frac{1}{2(x-1)^2} + \frac{C}{e^{2x}(x-1)^2} = \frac{e^{2x} + 2C}{2e^{2x}(x-1)^2}$.चूँकि $y(2) = \frac{1+e^4}{2e^4}$ दिया गया है,तो $\frac{e^4 + 2C}{2e^4(1)^2} = \frac{1+e^4}{2e^4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2C = 1$,इसलिए $C = 1/2$.इस प्रकार,$y(x) = \frac{e^{2x}+1}{2e^{2x}(x-1)^2}$.$x=3$ के लिए,$y(3) = \frac{e^6+1}{2e^6(3-1)^2} = \frac{e^6+1}{8e^6}$.$\frac{e^{\alpha}+1}{\beta e^{\alpha}}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha=6$ और $\beta=8$ प्राप्त होता है।अतः,$\alpha+\beta = 6+8 = 14$.

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