अवकल समीकरण $x^2 \frac{dy}{dx} - xy = 1$ का हल है...

मान लीजिए $f: R \to R$ इस प्रकार है कि सभी $x, y \in R$ के लिए $f(xy) = f(x)f(y)$ और $f(0) \ne 0$ है। मान लीजिए $g: [1, \infty) \to R$ एक अवकलनीय फलन है, जैसे कि $x^2 g(x) = \int_1^x (t^2 f(t) - t g(t)) dt$ है। तो $g(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $y=f(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+\frac{xy}{x^2-1}=\frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ का हल है,जहाँ $-1 < x < 1$ और $f(0)=0$ है। यदि $6 \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx = 2\pi - \alpha$ है,तो $\alpha^2$ का मान . . . . . . है।

अवकल समीकरण $(1 + y^2)dx - (\tan^{-1} y - x)dy = 0$ के लिए समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

यदि किसी वक्र पर किसी बिंदु $(x, y)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की ढाल $(x+y)$ है,तो उस वक्र का समीकरण क्या है?

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x \cos x) dy + (xy \sin x + y \cos x - 1) dx = 0$,$0 < x < \frac{\pi}{2}$ का एक हल है। यदि $\frac{\pi}{3} y(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ है,तो $|\frac{\pi}{6} y''(\frac{\pi}{6}) + 2 y'(\frac{\pi}{6})|$ का मान $.........$ है।