यदि किसी वक्र पर किसी बिंदु (x, y) पर खींची ग | vedclass

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Question

(A) किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = x + y$ द्वारा दी गई है। समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - y = x$ प

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$y=ce^x-x-1$

Vedclass · Answer

(A) किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = x + y$ द्वारा दी गई है। समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - y = x$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -1$ और $Q = x$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है। दोनों पक्षों को समाकलन गुणक से गुणा करने पर,हमें $e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = x e^{-x}$ प्राप्त होता है। इसे $\frac{d}{dx} (y e^{-x}) = x e^{-x}$ के रूप में लिखा जा सकता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $y e^{-x} = \int x e^{-x} dx$ प्राप्त होता है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int x e^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int 1(-e^{-x}) dx = -x e^{-x} - e^{-x} + c$। अतः,$y e^{-x} = -x e^{-x} - e^{-x} + c$। $e^x$ से गुणा करने पर,हमें $y = -x - 1 + ce^x$ प्राप्त होता है,जो $y = ce^x - x - 1$ है।

यदि किसी वक्र पर किसी बिंदु $(x, y)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की ढाल $(x+y)$ है,तो उस वक्र का समीकरण क्या है?

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यदि $y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{2x + 1}{x} \right)y = e^{-2x}, x > 0$ का हल है,जहाँ $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,तो:

अवकल समीकरण $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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यदि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (\tan x)y = \sin x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3},$ का हल है,जहाँ $y(0) = 0$ है,तो $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2 + 5$ का व्यापक हल है ....

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