अवकल समीकरण frac{dy}{dx}(1+x) - xy = 1-x का स | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx}(1+x) - xy = 1-x$ है। इस समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखने के लिए $(1+x)$ से व

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$(1+x)e^{-x}$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx}(1+x) - xy = 1-x$ है। इस समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखने के लिए $(1+x)$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x}y = \frac{1-x}{1+x}$ प्राप्त होता है। यहाँ,$P(x) = -\frac{x}{1+x}$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $e^{\int P(x) dx}$ होता है: $IF = e^{\int -\frac{x}{1+x} dx} = e^{-\int \frac{x+1-1}{1+x} dx} = e^{-\int (1 - \frac{1}{1+x}) dx}$। $IF = e^{-(x - \ln|1+x|)} = e^{-x + \ln|1+x|} = e^{-x} \cdot e^{\ln|1+x|}$। चूंकि $e^{\ln|1+x|} = 1+x$,इसलिए $IF = (1+x)e^{-x}$ प्राप्त होता है। अतः,सही विकल्प $C$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}(1+x) - xy = 1-x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

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