समीकरण frac{dy}{dx} = frac{1}{x + y + 1} का ह | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + y + 1}$ है।व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dx}{dy} = x + y + 1$ प्राप्त होता है।पदों को व्यवस्थित करन

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$x = ce^y - y - 2$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + y + 1}$ है।व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dx}{dy} = x + y + 1$ प्राप्त होता है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} - x = y + 1$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -1$ और $Q(y) = y + 1$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है।व्यापक हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ द्वारा दिया जाता है।$x e^{-y} = \int (y + 1) e^{-y} dy + c$.खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int (y + 1) e^{-y} dy = -(y + 2)e^{-y} + c$ प्राप्त होता है।अतः,$x e^{-y} = -(y + 2)e^{-y} + c$.दोनों पक्षों को $e^y$ से गुणा करने पर,$x = -(y + 2) + ce^y$,अर्थात $x = ce^y - y - 2$ प्राप्त होता है।

समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + y + 1}$ का हल है

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