मान लीजिए कि x = x(y) अवकल समीकरण 2y^2 frac{d | vedclass

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Question

(B) दिए गए अवकल समीकरण $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ को $x^2 y^2$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2}{xy} + \frac{

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$\frac{2}{3}e^2$

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(B) दिए गए अवकल समीकरण $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ को $x^2 y^2$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2}{xy} + \frac{1}{y^2} = 0$ प्राप्त होता है।मान लीजिए $u = \frac{1}{x}$, तो $\frac{du}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$ होगा।इन मानों को समीकरण में रखने पर, हमें $-2 \frac{du}{dy} - \frac{2u}{y} + \frac{1}{y^2} = 0$ प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर $\frac{du}{dy} + \frac{u}{y} = \frac{1}{2y^2}$ मिलता है।यह $\frac{du}{dy} + P(y)u = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(y) = \frac{1}{y}$ और $Q(y) = \frac{1}{2y^2}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int (1/y) dy} = e^{\log_e y} = y$ है।व्यापक हल $u \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \, dy + C$ है, इसलिए $uy = \int \frac{1}{2y^2} \cdot y \, dy + C = \int \frac{1}{2y} dy + C = \frac{1}{2} \log_e y + C$।दिया गया है कि $x(e) = e$, इसलिए $y = e$ पर $u = 1/e$ होगा। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(1/e) \cdot e = \frac{1}{2} \log_e e + C \Rightarrow 1 = 1/2 + C \Rightarrow C = 1/2$।अतः, $u = \frac{\log_e y + 1}{2y}$। चूँकि $u = 1/x$, इसलिए $x = \frac{2y}{\log_e y + 1}$ होगा।$y = e^2$ के लिए, $x(e^2) = \frac{2e^2}{\log_e e^2 + 1} = \frac{2e^2}{2 + 1} = \frac{2}{3}e^2$।

मान लीजिए कि $x = x(y)$ अवकल समीकरण $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$, $y > 1, x(e) = e$ का हल है। तो $x(e^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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