यदि y+frac{d}{d x}(x y)=x(sin x+log x) है,तो | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$ है।अवकलन का विस्तार करने पर: $y + y + x \frac{dy}{dx} = x \sin x + x \log x$.$2y + x \

Vedclass · Accepted Answer

$y=-\cos x+\frac{2}{x} \sin x+\frac{2}{x^2} \cos x+\frac{x}{3} \log x-\frac{x}{9}+\frac{c}{x^2}$,जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समीकरण $y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$ है।अवकलन का विस्तार करने पर: $y + y + x \frac{dy}{dx} = x \sin x + x \log x$.$2y + x \frac{dy}{dx} = x \sin x + x \log x$.$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = \sin x + \log x$.यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = \sin x + \log x$.समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = x^2$.हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।$y \cdot x^2 = \int x^2(\sin x + \log x) dx + c$.$y x^2 = \int x^2 \sin x dx + \int x^2 \log x dx + c$.खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x$.खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9}$.अतः,$y x^2 = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + c$.$x^2$ से भाग देने पर: $y = -\cos x + \frac{2 \sin x}{x} + \frac{2 \cos x}{x^2} + \frac{x}{3} \log x - \frac{x}{9} + \frac{c}{x^2}$.यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

यदि $y+\frac{d}{d x}(x y)=x(\sin x+\log x)$ है,तो $y$ ज्ञात कीजिए।

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