अवकल समीकरण frac{d y}{d x}=frac{2 y^2+1}{2 y^ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y^2+1}{2 y^3-4 x y+y}$ है।व्युत्क्रम लेने पर, $\frac{d x}{d y}=\frac{2 y^3-4 x y+y}{2 y^2+1} = \frac

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$4 x y^2+2 x=y^4+y^2+c$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y^2+1}{2 y^3-4 x y+y}$ है।व्युत्क्रम लेने पर, $\frac{d x}{d y}=\frac{2 y^3-4 x y+y}{2 y^2+1} = \frac{y(2 y^2+1) - 4 x y}{2 y^2+1} = y - \frac{4 x y}{2 y^2+1}$ प्राप्त होता है।पदों को व्यवस्थित करने पर, $\frac{d x}{d y} + \left(\frac{4 y}{2 y^2+1}\right) x = y$ प्राप्त होता है।यह $\frac{d x}{d y} + P(y) x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(y) = \frac{4 y}{2 y^2+1}$ और $Q(y) = y$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) d y} = e^{\int \frac{4 y}{2 y^2+1} d y} = e^{\ln(2 y^2+1)} = 2 y^2+1$ है।व्यापक हल $x(IF) = \int Q(y)(IF) d y + C$ है।$x(2 y^2+1) = \int y(2 y^2+1) d y + C = \int (2 y^3+y) d y + C$ प्राप्त होता है।$x(2 y^2+1) = \frac{2 y^4}{4} + \frac{y^2}{2} + C = \frac{y^4}{2} + \frac{y^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।$2$ से गुणा करने पर, $2 x(2 y^2+1) = y^4+y^2+2C$, जो सरल होकर $4 x y^2+2 x = y^4+y^2+C$ हो जाता है।

अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y^2+1}{2 y^3-4 x y+y}$ का व्यापक हल है

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