अवकल समीकरण (1+y^2) dx = (tan^{-1} y - x) dy | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2) dx = (	an^{-1} y - x) dy$ है। $(1+y^2) dy$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{	an^{-1} y - x}{1+y^2}$ प्र

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$x = (	an^{-1} y) - 1 + C e^{-	an^{-1} y}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2) dx = (	an^{-1} y - x) dy$ है। $(1+y^2) dy$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{	an^{-1} y - x}{1+y^2}$ प्राप्त होता है। पदों को व्यवस्थित करने पर, $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{	an^{-1} y}{1+y^2}$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{	an^{-1} y}{1+y^2}$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{	an^{-1} y}$ है। व्यापक हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ द्वारा दिया जाता है। $x \cdot e^{	an^{-1} y} = \int \frac{	an^{-1} y}{1+y^2} e^{	an^{-1} y} dy + C$. माना $t = 	an^{-1} y$, तब $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$. $x \cdot e^{	an^{-1} y} = \int t e^t dt + C$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर, $\int t e^t dt = t e^t - e^t$. $x \cdot e^{	an^{-1} y} = e^t(t - 1) + C$. $t = 	an^{-1} y$ प्रतिस्थापित करने पर, $x \cdot e^{	an^{-1} y} = e^{	an^{-1} y}(	an^{-1} y - 1) + C$. $e^{	an^{-1} y}$ से भाग देने पर, $x = 	an^{-1} y - 1 + C e^{-	an^{-1} y}$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ का व्यापक हल है

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