मान लीजिए f एक अवकलनीय फलन है जहाँ lim _{x ri | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y f'(x) = f(x) f'(x)$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = f

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$y+1=e^{-f(x)}+f(x)$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y f'(x) = f(x) f'(x)$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = f'(x)$ और $Q(x) = f(x) f'(x)$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int f'(x) dx} = e^{f(x)}$ है।हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।$y e^{f(x)} = \int f(x) f'(x) e^{f(x)} dx + C$.मान लीजिए $t = f(x)$, तब $dt = f'(x) dx$.$y e^{f(x)} = \int t e^t dt + C = e^t(t-1) + C$.$t = f(x)$ वापस रखने पर, हमें $y e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x)-1) + C$ प्राप्त होता है।दिया गया है कि $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0$ और $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x) = 0$, इन सीमाओं को समीकरण में रखने पर:$0 \cdot e^0 = e^0(0-1) + C \Rightarrow 0 = -1 + C \Rightarrow C = 1$.अतः, $y e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x)-1) + 1$.$e^{f(x)}$ से भाग देने पर, हमें $y = f(x) - 1 + e^{-f(x)}$ प्राप्त होता है।पुनर्व्यवस्थित करने पर $y + 1 = f(x) + e^{-f(x)}$ प्राप्त होता है।

सूची $I$ (अवकल समीकरण)	सूची $II$ (समाकलन गुणक)
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2$	$(1)$ $x^3$
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6$	$(2)$ $(x^3+1)^2$
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2$	$(3)$ $(x^2+1)^2$
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x$	$(4)$ $x^2+1$
	$(5)$ $(x^3+1)^{1/3}$
	$(6)$ $(x^3+1)^{1/2}$

मान लीजिए $f$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ है। यदि $y^{\prime}+y f^{\prime}(x)-f(x) f^{\prime}(x)=0$ और $\lim _{x \rightarrow \infty} y(x)=0$ है, तो:

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