अवकल समीकरण (1+y^2) dx = (tan^{-1} y - x) dy | vedclass

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Question

(D) दिए गए अवकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:$(1+y^2) dx = (	an^{-1} y - x) dy$पदों को $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप में व्यवस्थित करन

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$x = (	an^{-1} y - 1) + k e^{-	an^{-1} y}$

Vedclass · Answer

(D) दिए गए अवकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:$(1+y^2) dx = (	an^{-1} y - x) dy$पदों को $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:$\frac{dx}{dy} = \frac{	an^{-1} y - x}{1+y^2}$$\frac{dx}{dy} + \frac{1}{1+y^2} x = \frac{	an^{-1} y}{1+y^2}$यह $x$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{	an^{-1} y}{1+y^2}$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ है:$IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{	an^{-1} y}$व्यापक हल इस प्रकार दिया जाता है:$x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + k$$x e^{	an^{-1} y} = \int \frac{	an^{-1} y}{1+y^2} e^{	an^{-1} y} dy + k$माना $t = 	an^{-1} y$, तब $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$:$x e^{	an^{-1} y} = \int t e^t dt + k$खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर ($\int u dv = uv - \int v du$ जहाँ $u=t, dv=e^t dt$):$x e^{	an^{-1} y} = t e^t - e^t + k$$x e^{	an^{-1} y} = e^{	an^{-1} y} (	an^{-1} y - 1) + k$$e^{	an^{-1} y}$ से विभाजित करने पर:$x = (	an^{-1} y - 1) + k e^{-	an^{-1} y}$

अवकल समीकरण $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ का व्यापक हल है

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