अवकल समीकरण (x^2 + 1)frac{dy}{dx} + 2xy = x^2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x^2 - 1$ है। दोनों पक्षों को $(x^2 + 1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{

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$x^2 + 1$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x^2 - 1$ है। दोनों पक्षों को $(x^2 + 1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1}y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$. यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2x}{x^2 + 1}$ और $Q = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ है। समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है। $I.F. = e^{\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx}$. माना $u = x^2 + 1$,तो $du = 2x dx$ होगा। $I.F. = e^{\int \frac{1}{u} du} = e^{\ln(u)} = u = x^2 + 1$. अतः,समाकलन गुणक $x^2 + 1$ है।

अवकल समीकरण $(x^2 + 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x^2 - 1$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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