मान लीजिए P(x) = x^3 - ax^2 + bx + c जहाँ a, | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $P(x) = x^3 - ax^2 + bx + c$ के पूर्णांक मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।अतः,$P(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$.चूंकि $P(

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$15$

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(B) दिया गया है कि $P(x) = x^3 - ax^2 + bx + c$ के पूर्णांक मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।अतः,$P(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$.चूंकि $P(6) = 3$ है,इसलिए $(6 - \alpha)(6 - \beta)(6 - \gamma) = 3$.चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ पूर्णांक हैं,इसलिए $(6 - \alpha), (6 - \beta),$ और $(6 - \gamma)$ को $3$ के पूर्णांक गुणनखंड होना चाहिए।$3$ के गुणनखंड $\{1, -1, 3, -3\}$ हैं।मान लीजिए $x_1 = 6 - \alpha, x_2 = 6 - \beta, x_3 = 6 - \gamma$. तो $x_1 x_2 x_3 = 3$.साथ ही,$a = \alpha + \beta + \gamma = (6 - x_1) + (6 - x_2) + (6 - x_3) = 18 - (x_1 + x_2 + x_3)$.$(x_1, x_2, x_3)$ के लिए संभावित समूह जिनका गुणनफल $3$ है:$1)$ $(1, 1, 3) \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 = 5 \Rightarrow a = 18 - 5 = 13$.$2)$ $(1, -1, -3) \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 = -3 \Rightarrow a = 18 - (-3) = 21$.$3)$ $(-1, -1, 3) \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 = 1 \Rightarrow a = 18 - 1 = 17$.विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$a$ का मान $15$ नहीं हो सकता है।

मान लीजिए $P(x) = x^3 - ax^2 + bx + c$ जहाँ $a, b, c \in R$ के पूर्णांक मूल हैं और $P(6) = 3$ है,तो '$a$' का मान क्या नहीं हो सकता है?

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यदि समीकरणों $x^2 + px + 2q = 0$ और $x^2 + qx + 2p = 0$ $(p \ne q)$ का एक उभयनिष्ठ मूल (common root) है,तो $p + q$ का मान क्या है?

दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
$I.$ $x^{2}+5x+6=0$
$II.$ $y^{2}+3y+2=0$

जब $a = -5, b = -6$ और $c = 10$ हो,तो $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc}{ab + bc + ca - a^{2} - b^{2} - c^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
$I.$ $8x^2 + 6x = 5$
$II.$ $12y^2 - 22y + 8 = 0$

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