मान लीजिए n एक धनात्मक पूर्णांक है जिसके लिए | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $\sin \frac{\pi }{2^n} + \cos \frac{\pi }{2^n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$.दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:$\sqrt{2} \left(

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$4 < n \le 8$

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(B) दिया गया समीकरण: $\sin \frac{\pi }{2^n} + \cos \frac{\pi }{2^n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$.दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:$\sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi }{2^n} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos \frac{\pi }{2^n} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} ight) = \frac{\sqrt{n}}{2}$.$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:$\sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2^n} ight) = \frac{\sqrt{n}}{2}$.चूंकि $\sin 	heta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $\sin \left( \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2^n} ight) \le 1$.अतः,$\frac{\sqrt{n}}{2} \le \sqrt{2} \implies \sqrt{n} \le 2\sqrt{2} \implies n \le 8$.$n=4$ के लिए,$\sin \frac{\pi}{16} + \cos \frac{\pi}{16} = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{16}) = \sqrt{2} \sin(\frac{5\pi}{16}) \approx 1.175$,जबकि $\frac{\sqrt{4}}{2} = 1$. चूंकि $1.175 > 1$,समीकरण $n > 4$ के लिए सत्य है।अतः,$4 < n \le 8$.

मान लीजिए $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है जिसके लिए $\sin \frac{\pi }{2^n} + \cos \frac{\pi }{2^n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$ है। तो

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$\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 60^\circ \tan 80^\circ = $

यदि $\tan x = \frac{2b}{a - c}$ $(a \ne c)$,$y = a \cos^2 x + 2b \sin x \cos x + c \sin^2 x$ और $z = a \sin^2 x - 2b \sin x \cos x + c \cos^2 x$ है,तो:

$\left( {1 + \cos \frac{\pi }{8}} \right)\,\left( {1 + \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\,\left( {1 + \cos \frac{{5\pi }}{8}} \right)\,\left( {1 + \cos \frac{{7\pi }}{8}} \right) = $

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