मान लीजिए कि lambda एक पूर्णांक है। यदि रेखाओ | vedclass

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Question

(D) दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x-\lambda}{1} = \frac{y-1/2}{1/2} = \frac{z-0}{-1/2}$ और $L_2: \frac{x-0}{1} = \frac{y+2\lambda}{1} = \frac{z-\lambda}{1}

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$1$

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(D) दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x-\lambda}{1} = \frac{y-1/2}{1/2} = \frac{z-0}{-1/2}$ और $L_2: \frac{x-0}{1} = \frac{y+2\lambda}{1} = \frac{z-\lambda}{1}$ हैं।रेखाओं पर बिंदु $a_1 = (\lambda, 1/2, 0)$ और $a_2 = (0, -2\lambda, \lambda)$ हैं।दिशा सदिश $b_1 = (1, 1/2, -1/2)$ और $b_2 = (1, 1, 1)$ हैं।क्रॉस प्रोडक्ट $b_1 	imes b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 1/2 & -1/2 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1/2 + 1/2) - \hat{j}(1 + 1/2) + \hat{k}(1 - 1/2) = \hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k} = \frac{1}{2}(2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})$ है।इसका परिमाण $|b_1 	imes b_2| = \frac{1}{2}\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$ है।सदिश $a_2 - a_1 = (-\lambda, -2\lambda-1/2, \lambda)$ है।न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 	imes b_2)|}{|b_1 	imes b_2|} = \frac{|-\lambda(1) - (2\lambda+1/2)(-3/2) + \lambda(1/2)|}{\sqrt{14}/2} = \frac{|10\lambda + 3|}{2\sqrt{14}}$ है।दिया गया है कि $d = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$ है।अतः,$\frac{|10\lambda + 3|}{2\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{4} \implies |10\lambda + 3| = 7$ है।स्थिति $1$: $10\lambda + 3 = 7 \implies \lambda = 0.4$ (पूर्णांक नहीं है)।स्थिति $2$: $10\lambda + 3 = -7 \implies \lambda = -1$ है।अतः,$|\lambda| = |-1| = 1$ है।

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