मान लीजिए L दो समतलों x+2y+z=6 और y+2z=4 के प | vedclass

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Question

(D) समतलों के समीकरण $x+2y+z=6$ और $y+2z=4$ हैं। प्रतिच्छेदन रेखा ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ को $z$ के पदों में व्यक्त करते हैं। $y+2z=4$ से,हमें

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$102$

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(D) समतलों के समीकरण $x+2y+z=6$ और $y+2z=4$ हैं। प्रतिच्छेदन रेखा ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ को $z$ के पदों में व्यक्त करते हैं। $y+2z=4$ से,हमें $y=4-2z$ प्राप्त होता है। इसे पहले समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x+2(4-2z)+z=6 \Rightarrow x+8-4z+z=6 \Rightarrow x-3z=-2 \Rightarrow x=3z-2$. इस प्रकार,रेखा $L$ को सममित रूप में $\frac{x+2}{3} = \frac{y-4}{-2} = z = \lambda$ के रूप में लिखा जा सकता है। रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $P$,$(3\lambda-2, -2\lambda+4, \lambda)$ द्वारा दिया जाता है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ है। मान लीजिए $A = (3,2,1)$ है। सदिश $\vec{AP} = (3\lambda-2-3, -2\lambda+4-2, \lambda-1) = (3\lambda-5, -2\lambda+2, \lambda-1)$ है। चूंकि $\vec{AP} \perp \vec{v}$,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $(3\lambda-5)(3) + (-2\lambda+2)(-2) + (\lambda-1)(1) = 0$. $9\lambda - 15 + 4\lambda - 4 + \lambda - 1 = 0 \Rightarrow 14\lambda - 20 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{10}{7}$. $\lambda$ का मान रखने पर,$P = (3(\frac{10}{7})-2, -2(\frac{10}{7})+4, \frac{10}{7}) = (\frac{16}{7}, \frac{8}{7}, \frac{10}{7})$ प्राप्त होता है। अतः,$\alpha+\beta+\gamma = \frac{16+8+10}{7} = \frac{34}{7}$. $21(\alpha+\beta+\gamma)$ का मान $21 	imes \frac{34}{7} = 3 	imes 34 = 102$ है।

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