ધારો કે z એ એક સંકર સંખ્યા છે જે |z+5| leq 4 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $|z+5| \leq 4$. ધારો કે $z = x+iy$. તો $(x+5)^2 + y^2 \leq 16$ (કેન્દ્ર $(-5, 0)$ અને ત્રિજ્યા $4$ વાળું વર્તુળ).આપેલ છે $z(1+i)+\bar{z}(1

Vedclass · Accepted Answer

$48$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $|z+5| \leq 4$. ધારો કે $z = x+iy$. તો $(x+5)^2 + y^2 \leq 16$ (કેન્દ્ર $(-5, 0)$ અને ત્રિજ્યા $4$ વાળું વર્તુળ).આપેલ છે $z(1+i)+\bar{z}(1-i) \geq -10$. $z=x+iy$ અને $\bar{z}=x-iy$ મૂકતા:$(x+iy)(1+i) + (x-iy)(1-i) \geq -10$$(x-y + i(x+y)) + (x-y - i(x+y)) \geq -10$$2(x-y) \geq -10 \implies x-y+5 \geq 0$.આપણે $|z+1|^2$ ને મહત્તમ બનાવવું છે,જે બિંદુ $P(-1, 0)$ થી $z$ ના અંતરનો વર્ગ છે.પ્રદેશ એ વર્તુળ $(x+5)^2 + y^2 \leq 16$ અને અર્ધ-સમતલ $x-y+5 \geq 0$ નો છેદ છે.$P(-1, 0)$ થી પ્રદેશના બિંદુઓનું મહત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે સીમાબિંદુઓ તપાસીએ છીએ. મહત્તમ કિંમત રેખા $x-y+5=0$ અને વર્તુળ $(x+5)^2 + y^2 = 16$ ના છેદબિંદુ પર મળે છે.વર્તુળના સમીકરણમાં $y = x+5$ મૂકતા:$(x+5)^2 + (x+5)^2 = 16 \implies 2(x+5)^2 = 16 \implies (x+5)^2 = 8 \implies x+5 = \pm 2\sqrt{2}$.તેથી $x = -5 \pm 2\sqrt{2}$.જો $x = -5 - 2\sqrt{2}$,તો $y = x+5 = -2\sqrt{2}$. બિંદુ $B = (-5-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$.જો $x = -5 + 2\sqrt{2}$,તો $y = x+5 = 2\sqrt{2}$. બિંદુ $A = (-5+2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$.$P(-1, 0)$ થી અંતરના વર્ગની ગણતરી:$PB^2 = (-5-2\sqrt{2} - (-1))^2 + (-2\sqrt{2} - 0)^2 = (-4-2\sqrt{2})^2 + 8 = (16 + 8 + 16\sqrt{2}) + 8 = 32 + 16\sqrt{2}$.$PA^2 = (-5+2\sqrt{2} - (-1))^2 + (2\sqrt{2} - 0)^2 = (-4+2\sqrt{2})^2 + 8 = (16 + 8 - 16\sqrt{2}) + 8 = 32 - 16\sqrt{2}$.મહત્તમ કિંમત $32 + 16\sqrt{2}$ છે.આમ $\alpha = 32$ અને $\beta = 16$.$\alpha + \beta = 32 + 16 = 48$.

Similar Questions

ધારો કે $z_1 = 2 + 3i$ અને $z_2 = 3 + 4i$. ગણ $S = \{ z \in \mathbb{C} : |z - z_1|^2 - |z - z_2|^2 = |z_1 - z_2|^2 \}$ એ શું દર્શાવે છે?

જો $|z_1|=1, |z_2|=2, |z_3|=3$ અને $|9z_1z_2 + 4z_1z_3 + z_2z_3| = 12$ હોય,તો $|z_1 + z_2 + z_3|$ ની કિંમત કેટલી થાય :-

જો $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ એ સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ હોય,જેનું મધ્યકેન્દ્ર $z_0$ છે,તો $\sum_{k=1}^3 (z_k - z_0)^2$ ની કિંમત કેટલી થાય?

એક બિંદુ $z$ આર્ગેન્ડ આકૃતિ પર એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $|z - 3i| = 2$ થાય,તો તેનો બિંદુપથ શું હશે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module