मान लीजिए f(x) घात 3 का एक बहुपद है जैसे कि f | vedclass

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Question

(B) चूंकि $f(x)$ घात $3$ का बहुपद है,$f'(x)$ एक द्विघात है और $f''(x)$ एक रैखिक फलन है।$f'(x)$ का $x = 1$ पर क्रांतिक बिंदु है,इसलिए $f''(1) = 0$। अतः

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$3$

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(B) चूंकि $f(x)$ घात $3$ का बहुपद है,$f'(x)$ एक द्विघात है और $f''(x)$ एक रैखिक फलन है।$f'(x)$ का $x = 1$ पर क्रांतिक बिंदु है,इसलिए $f''(1) = 0$। अतः $f''(x) = k(x - 1)$।समाकलन करने पर,$f'(x) = \frac{k}{2}x^2 - kx + C$।$f(x)$ का $x = -1$ पर क्रांतिक बिंदु है,इसलिए $f'(-1) = 0$,जिससे $C = -\frac{3k}{2}$ प्राप्त होता है।अतः $f'(x) = \frac{k}{2}(x - 3)(x + 1)$।$f(x)$ का समाकलन करने पर $f(x) = \frac{k}{6}x^3 - \frac{k}{2}x^2 - \frac{3k}{2}x + d$ प्राप्त होता है।$f(1) = -6$ और $f(-1) = 10$ का उपयोग करने पर $k = 6$ और $d = 5$ प्राप्त होता है।अतः $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$।$f'(x) = 3(x - 3)(x + 1)$ होने के कारण क्रांतिक बिंदु $x = 3$ और $x = -1$ हैं।$f''(3) = 12 > 0$ होने के कारण $x = 3$ पर स्थानीय न्यूनतम मान प्राप्त होता है।

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