मान लीजिए frac{sin A}{sin B} = frac{sin (A-C) | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\sin (A-C)}{\sin (C-B)}$.चूँकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,$A+B+C = \pi$,अतः $A = \pi - (B+C)$ और $\si

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$b^{2}, c^{2}, a^{2}$ $A.P.$ में हैं।

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(B) दिया गया है $\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\sin (A-C)}{\sin (C-B)}$.चूँकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,$A+B+C = \pi$,अतः $A = \pi - (B+C)$ और $\sin A = \sin (B+C)$.इसी प्रकार,$B = \pi - (A+C)$ और $\sin B = \sin (A+C)$.समीकरण में मान रखने पर:$\frac{\sin (B+C)}{\sin (A+C)} = \frac{\sin (A-C)}{\sin (C-B)}$.वज्र-गुणन करने पर:$\sin (B+C) \sin (C-B) = \sin (A+C) \sin (A-C)$.सर्वसमिका $\sin (x+y) \sin (x-y) = \sin^{2} x - \sin^{2} y$ का उपयोग करने पर:$\sin^{2} C - \sin^{2} B = \sin^{2} A - \sin^{2} C$.पदों को व्यवस्थित करने पर:$2 \sin^{2} C = \sin^{2} A + \sin^{2} B$.ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$.अतः,$2c^{2} = a^{2} + b^{2}$.यह दर्शाता है कि $a^{2}, c^{2}, b^{2}$ $A.P.$ में हैं (या $b^{2}, c^{2}, a^{2}$ $A.P.$ में हैं)।

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