मान लीजिए f अंतराल [0,2] पर एक सतत फलन है और | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(0)=0, f(1)=1$,और $f(2)=2$। एक फलन $h(x) = f(x) - x$ को परिभाषित करें। तब $h(0) = f(0) - 0 = 0$,$h(1) = f(1) - 1 = 0$,और $h(2) = f(2

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$f^{\prime \prime}(x)=0$ किसी $x \in(0,2)$ के लिए

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(B) दिया गया है $f(0)=0, f(1)=1$,और $f(2)=2$। एक फलन $h(x) = f(x) - x$ को परिभाषित करें। तब $h(0) = f(0) - 0 = 0$,$h(1) = f(1) - 1 = 0$,और $h(2) = f(2) - 2 = 0$। चूंकि $h(x)$ अंतराल $[0,1]$ और $[1,2]$ पर सतत है और $(0,1)$ और $(1,2)$ पर अवकलनीय है,रोले के प्रमेय के अनुसार,कोई $c_1 \in (0,1)$ मौजूद है जिसके लिए $h^{\prime}(c_1) = 0$ और कोई $c_2 \in (1,2)$ मौजूद है जिसके लिए $h^{\prime}(c_2) = 0$। अब,$h^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - 1$। चूंकि $h^{\prime}(c_1) = 0$ और $h^{\prime}(c_2) = 0$,और $h^{\prime}(x)$ अंतराल $[c_1, c_2]$ पर सतत है और $(c_1, c_2)$ पर अवकलनीय है,$h^{\prime}(x)$ पर रोले का प्रमेय लागू करने पर,कम से कम एक $c \in (c_1, c_2) \subset (0,2)$ मौजूद है जिसके लिए $h^{\prime \prime}(c) = 0$। चूंकि $h^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(x)$,इसलिए किसी $c \in (0,2)$ के लिए $f^{\prime \prime}(c) = 0$ होगा।

मान लीजिए $f$ अंतराल $[0,2]$ पर एक सतत फलन है और $(0,2)$ पर दो बार अवकलनीय है। यदि $f(0)=0, f(1)=1$ और $f(2)=2$ है,तो

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यदि $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6, x \in [1, 3]$ रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a$ और $b$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = |1 - x|$ जहाँ $1 \le x \le 2$ और $g(x) = f(x) + b \sin(\frac{\pi}{2}x)$ जहाँ $1 \le x \le 2$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

मान लीजिए कि $f$ अंतराल $(1,6)$ पर एक दो बार अवकलनीय फलन है। यदि $f(2)=8$,$f'(2)=5$,$f'(x) \geq 1$ और $f''(x) \geq 4$ सभी $x \in (1,6)$ के लिए है,तो:

फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$,$[1, 3]$ अंतराल में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है। $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

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