मान लीजिए $S=\{n \in N \mid \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \forall a, b, c, d \in R \}$,जहाँ $i=\sqrt{-1}$ है। तो समुच्चय $S$ में $2$-अंकीय संख्याओं की संख्या $......$ है।

मान लीजिए $\Omega$ सभी $3 \times 3$ सममित आव्यूहों का समुच्चय है जिनके सभी प्रविष्टियाँ या तो $0$ हैं या $1$ हैं। इनमें से पाँच प्रविष्टियाँ $1$ हैं और चार प्रविष्टियाँ $0$ हैं।
$1.$ $\Omega$ में आव्यूहों की संख्या है
$(A) 12$ $(B) 6$ $(C) 9$ $(D) 3$
$2.$ $\Omega$ में उन आव्यूहों $A$ की संख्या जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ का एक अद्वितीय हल है,है
$(A) 4$ से कम $(B) 4$ या अधिक लेकिन $7$ से कम $(C) 7$ या अधिक लेकिन $10$ से कम $(D) 10$ या अधिक
$3.$ $\Omega$ में उन आव्यूहों $A$ की संख्या जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ असंगत है,है
$(A) 0$ $(B) 2$ से अधिक $(C) 2$ $(D) 1$

यदि $\Delta _1 = \left| \begin{array}{ccc} b^5c^6(c^3 - b^3) & a^4c^6(a^3 - c^3) & a^4b^5(b^3 - a^3) \\ b^2c^3(b^6 - c^6) & ac^3(c^6 - a^6) & ab^2(a^6 - b^6) \\ b^2c^3(c^3 - b^3) & ac^3(a^3 - c^3) & ab^2(b^3 - a^3) \end{array} \right|$ और $\Delta _2 = \left| \begin{array}{ccc} a & b^2 & c^3 \\ a^4 & b^5 & c^6 \\ a^7 & b^8 & c^9 \end{array} \right|$ है,तो $\Delta _1 \Delta _2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $I$ एक $2 \times 2$ क्रम का तत्समक आव्यूह है और $P = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$ है। तो $n \in N$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $P^n = 5I - 8P$ है।

मान लीजिए $P=\begin{bmatrix} -30 & 20 & 56 \\ 90 & 140 & 112 \\ 120 & 60 & 14 \end{bmatrix}$ और $A=\begin{bmatrix} 2 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & -\omega & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega+1 \end{bmatrix}$,जहाँ $\omega=\frac{-1+ i \sqrt{3}}{2}$,और $I_{3}$ कोटि $3$ का तत्समक आव्यूह है। यदि आव्यूह $(P^{-1}AP - I_{3})^{2}$ का सारणिक $\alpha \omega^{2}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A$ एक $2 \times 2$ क्रम का आव्यूह है,जिसके अवयव समुच्चय $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ से हैं। यदि $A$ के सभी अवयवों का योग एक अभाज्य संख्या $p$ है,जहाँ $2 < p < 8$,तो ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या क्या है?