मान लीजिए f(x) = [2x^2 + 1] और g(x) = begin{c | vedclass

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Question

(A) हमें दिया गया है $f(x) = [2x^2 + 1] = [2x^2] + 1$. तब $f(g(x)) = [2(g(x))^2] + 1$. स्थिति $1$: $x < 0$,$g(x) = 2x - 3$. $f(g(x)) = [2(2x - 3)^2] +

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$62$

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(A) हमें दिया गया है $f(x) = [2x^2 + 1] = [2x^2] + 1$. तब $f(g(x)) = [2(g(x))^2] + 1$. स्थिति $1$: $x $f(g(x)) = [2(2x - 3)^2] + 1$. $x \in (-1, 0)$ के लिए,$2x - 3 \in (-5, -3)$. अतः,$(2x - 3)^2 \in (9, 25)$,इसलिए $2(2x - 3)^2 \in (18, 50)$. फलन $[2(2x - 3)^2] + 1$ तब असतत होता है जब $2(2x - 3)^2$ एक पूर्णांक हो। अंतराल $(-1, 0)$ में,$2x - 3$ का मान $-5$ से $-3$ के बीच है। $2(2x - 3)^2$ के मान $18$ से $50$ के बीच हैं। $(18, 50)$ में पूर्णांक $19, 20, \dots, 49$ हैं,जो कुल $49 - 19 + 1 = 31$ बिंदु देते हैं। स्थिति $2$: $x \geq 0$,$g(x) = 2x + 3$. $f(g(x)) = [2(2x + 3)^2] + 1$. $x \in [0, 1)$ के लिए,$2x + 3 \in [3, 5)$. अतः,$(2x + 3)^2 \in [9, 25)$,इसलिए $2(2x + 3)^2 \in [18, 50)$. $[18, 50)$ में पूर्णांक $18, 19, \dots, 49$ हैं,जो कुल $49 - 18 + 1 = 32$ बिंदु देते हैं। हालाँकि,हमें बिंदु $x = 0$ की जाँच करनी होगी। $x = 0$ पर,$f(g(0)) = f(3) = [2(3)^2 + 1] = [19] = 19$. $lim_{x 	o 0^-} f(g(x)) = [2(-3)^2] + 1 = [18] + 1 = 19$. $lim_{x 	o 0^+} f(g(x)) = [2(3)^2] + 1 = [18] + 1 = 19$. चूँकि सीमाएँ समान हैं,$x = 0$ असतत बिंदु नहीं है। कुल बिंदु = $31 + 31 = 62$.

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फलन $f(x) = \begin{cases} sgn([x]) & x \notin I \\ [sgn(x)] & x \in I \end{cases}$ है (जहाँ $sgn()$ सिग्नम फलन को दर्शाता है और $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है):

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin \pi x}{5x}, & x \ne 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ है। यदि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,तो $k =$

यदि $f(x) = \begin{cases} x, & x > 1 \\ x^2, & x < 1 \end{cases}$,तो $\lim_{x \to 1} f(x) = $

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