मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण (x+1) y^{prime}- | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x+1) \frac{dy}{dx} - y = e^{3x}(x+1)^2$ है।$(x+1)^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{(x+1) \frac{dy}{dx} - y}{(x+1)^2} = e^{

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स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x+1) \frac{dy}{dx} - y = e^{3x}(x+1)^2$ है।$(x+1)^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{(x+1) \frac{dy}{dx} - y}{(x+1)^2} = e^{3x}$ प्राप्त होता है।इसे $\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x+1} \right) = e^{3x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\frac{y}{x+1} = \int e^{3x} dx = \frac{e^{3x}}{3} + C$ प्राप्त होता है।दिया गया है $y(0) = \frac{1}{3}$,$x=0$ और $y=\frac{1}{3}$ रखने पर $\frac{1/3}{1} = \frac{e^0}{3} + C$ मिलता है,इसलिए $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} + C$,जिसका अर्थ है $C=0$ है।अतः,$y = \frac{(x+1)e^{3x}}{3}$ है।क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} [ (x+1) \cdot 3e^{3x} + e^{3x} \cdot 1 ] = \frac{e^{3x}}{3} [ 3x + 3 + 1 ] = \frac{e^{3x}}{3} (3x+4)$ ज्ञात करते हैं।$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,$3x+4=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = -\frac{4}{3}$ है।$x  -\frac{4}{3}$ के लिए,$\frac{dy}{dx} > 0$ है।चूंकि अवकलज $x = -\frac{4}{3}$ पर ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए यह स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है।

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x+1) y^{\prime}-y=e^{3 x}(x+1)^{2}$ का हल है,जहाँ $y(0)=\frac{1}{3}$ है। तो,वक्र $y = y ( x )$ के लिए बिंदु $x=-\frac{4}{3}$ है

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