ધારો કે $f, g: R \rightarrow R$ એ બે વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેયો છે જે $f(x)=\begin{cases} -|x+3| & , x < 0 \\ e^{x} & , x \geq 0 \end{cases}$ અને $g(x)=\begin{cases} x^{2}+k_{1} x & , x < 0 \\ 4 x+k_{2} & , x \geq 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $k_{1}$ અને $k_{2}$ વાસ્તવિક અચળાંકો છે. જો $(g \circ f)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $(g \circ f)(-4)+(g \circ f)(4)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \tan^{-1}(\frac{\alpha x + \beta}{\gamma}) & x \in (0, \frac{1}{2}) \\ 0 & x = \frac{1}{2} \\ \ln(\beta x^2 + 2) & x \in (\frac{1}{2}, 1) \end{cases}$. જો $f(x)$ તેના પ્રદેશમાં સતત અને વિકલનીય હોય,તો $\alpha + \beta + \gamma$ ની કિંમત શોધો.

નીચેના વિધાનો માટે $T$ અથવા $F$ ના પ્રારંભિક અક્ષરોનો સાચો ક્રમ આપો. જો વિધાન સાચું હોય તો $T$ અને જો ખોટું હોય તો $F$ નો ઉપયોગ કરો.
વિધાન-$1$: જો $f: R \rightarrow R$ અને $c \in R$ એવા હોય કે $f$ એ $(c - \delta, c)$ માં વધતું વિધેય હોય અને $(c, c + \delta)$ માં ઘટતું વિધેય હોય,તો $f$ ને $c$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે. જ્યાં $\delta$ એ પૂરતી નાની ધન સંખ્યા છે.
વિધાન-$2$: ધારો કે $f: (a, b) \rightarrow R, c \in (a, b)$. તો $f$ પાસે $x = c$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય અને નતિપરિવર્તન બિંદુ બંને ન હોઈ શકે.
વિધાન-$3$: વિધેય $f(x) = x^2 |x|$ એ $x = 0$ આગળ બે વાર વિકલનીય છે.
વિધાન-$4$: ધારો કે $f: [c - 1, c + 1] \rightarrow [a, b]$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે કે જેથી $f$ એ $c$ આગળ વિકલનીય છે અને $f'(c) \neq 0$,તો $f^{-1}$ પણ $f(c)$ આગળ વિકલનીય છે.

$f : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = |\log_{e} x| - |x - 1|$ માટે નીચેના ત્રણ વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(I)$ $f$ એ તમામ $x > 0$ માટે વિકલનીય છે.
$(II)$ $f$ એ $(0, 1)$ માં વધતું વિધેય છે.
$(III)$ $f$ એ $(1, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે.
તો:

ધારો કે $f:[0, \infty) \rightarrow [0, 3]$ એ એક વિધેય છે જે નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(x) = \begin{cases} \max \{\sin t : 0 \leq t \leq x\}, & 0 \leq x \leq \pi \\ 2 + \cos x, & x > \pi \end{cases}$
તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય છે?

ધારો કે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે $h(x) = \min \{ x, x^2 \}$ છે. તો: