ધારો કે $f$ એ $[0, 1]$ પર વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું સતત વિધેય છે અને $f(x) = x + \int_{0}^{1} (x - t) f(t) dt$ છે. તો નીચેનામાંથી કયું બિંદુ $(x, y)$ એ વક્ર $y = f(x)$ પર આવેલું છે?

જો વાસ્તવિક સંખ્યા $y$ માટે,$[y]$ એ $y$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક હોય,તો સંકલન $\int_{\pi /2}^{3\pi /2} [2\sin x] \, dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $m \in Z^{+}$,$n=2m$ અને $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \, dx = K(m) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^m x \, dx$ હોય,તો $\frac{2^{m-1}(m-1)!}{(2m-1)!} K(m) =$

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી તેનું વિકલિત $f^{\prime}$ સતત છે અને $f(\pi)=-6$ છે. જો $F:[0, \pi] \rightarrow R$ એ $F(x)=\int_0^{ x } f( t ) dt$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,અને જો $\int_0^\pi\left(f^{\prime}( x )+ F ( x )\right) \cos x dx =2$ હોય,તો $f(0)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\operatorname{Max} \limits _{0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^{2}}{5-x}\right\}=\alpha$ અને $\operatorname{Min} \limits _ {0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^{2}}{5-x}\right\}=\beta$. જો $\int\limits_{\beta-\frac{8}{3}}^{2 \alpha-1} \operatorname{Max}\left\{\frac{9- x ^{2}}{5- x }, x \right\} dx =\alpha_{1}+\alpha_{2} \log _{e}\left(\frac{8}{15}\right)$ હોય,તો $\alpha_{1}+\alpha_{2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{1 + x}}} \,dx$ અને ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{e^{{x^3}}}\left( {2 - {x^3}} \right)}}} \,dx$ હોય,તો $\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}$ ની કિંમત શોધો.