मान लीजिए कि $f$,$[0, 1]$ पर एक वास्तविक मान वाला सतत फलन है और $f(x) = x + \int_{0}^{1} (x - t) f(t) dt$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु $(x, y)$,वक्र $y = f(x)$ पर स्थित है?

मान लीजिए $f(x)=x+\frac{a}{\pi^2-4} \sin x+\frac{b}{\pi^2-4} \cos x$ जहाँ $x \in R$ एक फलन है जो $f(x)=x+\int \limits_0^{\pi / 2} \sin (x+y) f(y) d y$ को संतुष्ट करता है। तो $(a+b)$ का मान $............$ है।

फलन $y = f(x)$ के ग्राफ पर बिंदु $x = a$ पर स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\pi/3$ का कोण बनाती है और बिंदु $x = b$ पर $\pi/4$ का कोण बनाती है। तो समाकलन $\int_{a}^{b} f(x) \cdot f''(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए (मान लीजिए कि $f''(x)$ सतत है)।

यदि $\int_{0}^{\pi} (\sin^{3} x) e^{-\sin^{2} x} dx = \alpha - \frac{\beta}{e} \int_{0}^{1} \sqrt{t} e^{t} dt$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान $....$ है।

यदि $x$ समीकरण $\left( \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2 + 2t \cos \alpha + 1} \right) x^2 - \left( \int_{-3}^{3} \frac{t^2 \sin 2t}{t^2 + 1} dt \right) x - 2 = 0$ $(0 < \alpha < \pi)$ को संतुष्ट करता है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \int_0^x {t(\sin x - \sin t) dt}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?