मान लीजिए f(x)=x+frac{a}{pi^2-4} sin x+frac{b | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x)=x+\int \limits_0^{\pi / 2} \sin (x+y) f(y) d y$.$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ का उपयोग करने पर:$f(x)=x+\sin x \int

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$-2 \pi(\pi+2)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $f(x)=x+\int \limits_0^{\pi / 2} \sin (x+y) f(y) d y$.$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ का उपयोग करने पर:$f(x)=x+\sin x \int \limits_0^{\pi / 2} \cos y f(y) d y + \cos x \int \limits_0^{\pi / 2} \sin y f(y) d y$.इसकी तुलना $f(x)=x+\frac{a}{\pi^2-4} \sin x+\frac{b}{\pi^2-4} \cos x$ से करने पर:$\frac{a}{\pi^2-4} = \int \limits_0^{\pi / 2} f(y) \cos y d y$ और $\frac{b}{\pi^2-4} = \int \limits_0^{\pi / 2} f(y) \sin y d y$.मान लीजिए $I = \int \limits_0^{\pi / 2} f(y) (\sin y + \cos y) d y = \frac{a+b}{\pi^2-4}$.गुणधर्म $\int_0^a g(y) dy = \int_0^a g(a-y) dy$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^{\pi/2} f(\frac{\pi}{2}-y) (\sin(\frac{\pi}{2}-y) + \cos(\frac{\pi}{2}-y)) dy = \int_0^{\pi/2} f(\frac{\pi}{2}-y) (\cos y + \sin y) dy$.चूंकि $f(x) = x + I(\sin x + \cos x)$,इसलिए $f(\frac{\pi}{2}-y) = \frac{\pi}{2} - y + I(\cos y + \sin y)$.इसे $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int_0^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} - y + I(\sin y + \cos y))(\sin y + \cos y) dy$.$I = \int_0^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} - y)(\sin y + \cos y) dy + I \int_0^{\pi/2} (\sin y + \cos y)^2 dy$.समाकलन करने पर:$\int_0^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} - y)(\sin y + \cos y) dy = \frac{\pi}{2}$.$\int_0^{\pi/2} (1 + 2 \sin y \cos y) dy = \frac{\pi}{2} + 1$.अतः,$I = \frac{\pi}{2} + I(\frac{\pi}{2} + 1) \Rightarrow I = -1$.इस प्रकार,$a+b = -(\pi^2-4) = 4-\pi^2$. विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $-2\pi(\pi+2)$ है।

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