ધારો કે $f(x)=x+\frac{a}{\pi^2-4} \sin x+\frac{b}{\pi^2-4} \cos x$ જ્યાં $x \in R$ એવું વિધેય છે જે $f(x)=x+\int \limits_0^{\pi / 2} \sin (x+y) f(y) d y$ નું સમાધાન કરે છે. તો $(a+b)$ ની કિંમત $............$ છે.

ધારો કે $I_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} dx$,$I_2 = \int_0^{2\pi} \cos^6 x dx$,$I_3 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^3 x dx$,અને $I_4 = \int_0^1 \ln \left( \frac{1}{x} - 1 \right) dx$. તો:

$ 6\int_{0}^{\pi}|(\sin 3x+\sin 2x+\sin x)| dx $ ની કિંમત .... છે.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = a \sin \left(\frac{\pi[x]}{2}\right) + [2-x]$,$a \in R$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે,જ્યાં $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે. જો $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય,તો $\int_{0}^{4} f(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{0}^{2} ( |2x^2 - 3x| + [x - \frac{1}{2}] ) dx$,જ્યાં $[ \cdot ]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,તેની કિંમત શોધો.

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8x \cot x \, dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \right)dx}$ ની કિંમત શોધો.