ધારો કે $I_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} dx$,$I_2 = \int_0^{2\pi} \cos^6 x dx$,$I_3 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^3 x dx$,અને $I_4 = \int_0^1 \ln \left( \frac{1}{x} - 1 \right) dx$. તો:

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8x \cot x \, dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \right)dx}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x)$ એવું વિધેય છે જે $f'(x) = f(x)$ અને $f(0) = 1$ નું પાલન કરે છે અને $g(x)$ એવું વિધેય છે જે $f(x) + g(x) = x^2$ નું પાલન કરે છે. સંકલન $\int_{0}^{1} f(x)g(x) \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $F: R \rightarrow R$ એ ત્રણ વાર વિકલનીય વિધેય છે. ધારો કે $F(1)=0, F(3)=-4$ અને તમામ $x \in (1/2, 3)$ માટે $F^{\prime}(x) < 0$ છે. ધારો કે તમામ $x \in R$ માટે $f(x)=x F(x)$ છે.
$1.$ સાચું વિધાન(નો) છે:
$(A) f^{\prime}(1) < 0$
$(B) f(2) < 0$
$(C) \text{કોઈપણ }x \in (1,3) \text{માટે }f^{\prime}(x) \neq 0$
$(D)$ અમુક $x \in (1, 3)$ માટે $f^{\prime}(x)=0$
$2.$ જો $\int_1^3 x^2 F^{\prime}(x) dx = -12$ અને $\int_1^3 x^3 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ હોય,તો સાચું પદ(દો) છે:
$(A) 9 f^{\prime}(3)+f^{\prime}(1)-32=0$
$(B) \int_1^3 f(x) dx = 12$
$(C) 9 f^{\prime}(3)-f^{\prime}(1)+32=0$
$(D) \int_1^3 f(x) dx = -12$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.

શરત $\int_0^1 (f(x))^2 dx = 2 \int_0^1 f(x) dx$ નું પાલન કરતા સતત વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow(-\infty, \infty)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

જો ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ હોય,તો (જ્યાં $\{.\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે અને $n \in N$):