मान लीजिए कि f,[0,1] पर परिभाषित एक सतत फलन ह | vedclass

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Question

(D) कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के अनुसार,यदि $f(x)$ और $g(x)$ सतत फलन हैं,तो $(\int_a^b f(x)g(x) dx)^2 \leq (\int_a^b f^2(x) dx)(\int_a^b g^2(x) dx)$ होता

Vedclass · Accepted Answer

एक एकल (singleton) है

Vedclass · Answer

(D) कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के अनुसार,यदि $f(x)$ और $g(x)$ सतत फलन हैं,तो $(\int_a^b f(x)g(x) dx)^2 \leq (\int_a^b f^2(x) dx)(\int_a^b g^2(x) dx)$ होता है।यहाँ $g(x) = 1$ लेने पर,$(\int_0^1 f(x) dx)^2 \leq (\int_0^1 f^2(x) dx)(\int_0^1 1^2 dx) = \int_0^1 f^2(x) dx$ प्राप्त होता है।चूंकि हमें दिया गया है कि $\int_0^1 f^2(x) dx = (\int_0^1 f(x) dx)^2$,इसका अर्थ है कि समानता तभी संभव है जब $f(x)$ फलन $g(x)=1$ के समानुपाती हो,अर्थात $f(x) = c$ (एक अचर)।अतः,$f(x)$ एक अचर फलन है,जिसका अर्थ है कि इसका परिसर एक एकल (singleton) समुच्चय है।

मान लीजिए कि $f$,$[0,1]$ पर परिभाषित एक सतत फलन है,इस प्रकार कि $\int_0^1 f^2(x) dx = (\int_0^1 f(x) dx)^2$ है। तब,$f$ का परिसर

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मान लीजिए कि $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ और $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ सतत फलन हैं। तो समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] \, dx$ का मान है

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx =$

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {\sin 2\theta } } \sin \theta \,d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan x} \, dx =$

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