ધારો કે f(x) = alpha x^2 - 2 + frac{1}{x},જ્ય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \alpha x^2 - 2 + \frac{1}{x} = \frac{\alpha x^3 - 2x + 1}{x}$.તમામ $x > 0$ માટે $f(x) \geq 0$ હોવાથી,$g(x) = \alpha x^3 - 2x +

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2^5}{3^3}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \alpha x^2 - 2 + \frac{1}{x} = \frac{\alpha x^3 - 2x + 1}{x}$.તમામ $x > 0$ માટે $f(x) \geq 0$ હોવાથી,$g(x) = \alpha x^3 - 2x + 1 \geq 0$ થવું જોઈએ.$g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$g'(x) = 3\alpha x^2 - 2$ મેળવીએ.$g'(x) = 0$ લેતા,$x^2 = \frac{2}{3\alpha}$,તેથી $x = \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$ (કારણ કે $x > 0$).દ્વિતીય વિકલન $g''(x) = 6\alpha x > 0$ હોવાથી,આ બિંદુએ ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.$x = \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$ ને $g(x)$ માં મૂકતા:$g\left(\sqrt{\frac{2}{3\alpha}}\right) = \alpha \left(\frac{2}{3\alpha}\right) \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} - 2\sqrt{\frac{2}{3\alpha}} + 1 \geq 0$.$\sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \left( \frac{2}{3} - 2 \right) + 1 \geq 0$.$1 - \frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \geq 0 \Rightarrow 1 \geq \frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$.$\frac{3}{4} \geq \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \Rightarrow \frac{9}{16} \geq \frac{2}{3\alpha}$.$27\alpha \geq 32 \Rightarrow \alpha \geq \frac{32}{27} = \frac{2^5}{3^3}$.આમ,$\alpha$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{2^5}{3^3}$ છે.

ધારો કે $f(x) = \alpha x^2 - 2 + \frac{1}{x}$,જ્યાં $\alpha$ એ વાસ્તવિક અચળાંક છે. તમામ $x > 0$ માટે $f(x) \geq 0$ થાય તેવી $\alpha$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

Similar Questions

વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ ને તેના વ્યસ્તમાં ઉમેરતા,સરવાળાની ન્યૂનતમ કિંમત $x$ ની કઈ કિંમત માટે મળે?

એક લંબવૃત્તીય શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $3 \text{ cm}$ છે. મહત્તમ ઘનફળ માટે શંકુની ઊંચાઈ કેટલી હશે?

વિધેય $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$ ની ન્યૂનતમ અને મહત્તમ કિંમતો શું છે?

જો $PQ$ અને $PR$ ત્રિકોણની બે બાજુઓ હોય,તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો જે ત્રિકોણનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ આપે છે તે છે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module