मान लीजिए f(x) = alpha x^2 - 2 + frac{1}{x},ज | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \alpha x^2 - 2 + \frac{1}{x} = \frac{\alpha x^3 - 2x + 1}{x}$.सभी $x > 0$ के लिए $f(x) \geq 0$ होने के लिए,$g(x) = \alpha x^3

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2^5}{3^3}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = \alpha x^2 - 2 + \frac{1}{x} = \frac{\alpha x^3 - 2x + 1}{x}$.सभी $x > 0$ के लिए $f(x) \geq 0$ होने के लिए,$g(x) = \alpha x^3 - 2x + 1 \geq 0$ होना चाहिए।$g(x)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$g'(x) = 3\alpha x^2 - 2$ प्राप्त करते हैं।$g'(x) = 0$ रखने पर,$x^2 = \frac{2}{3\alpha}$,इसलिए $x = \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$ (चूंकि $x > 0$ है)।द्वितीय अवकलज $g''(x) = 6\alpha x > 0$ है,जो पुष्टि करता है कि यह बिंदु न्यूनतम है।$x = \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$ को $g(x)$ में रखने पर:$g\left(\sqrt{\frac{2}{3\alpha}}\right) = \alpha \left(\frac{2}{3\alpha}\right) \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} - 2\sqrt{\frac{2}{3\alpha}} + 1 \geq 0$.$\sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \left( \frac{2}{3} - 2 \right) + 1 \geq 0$.$1 - \frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \geq 0 \Rightarrow 1 \geq \frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$.$\frac{3}{4} \geq \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \Rightarrow \frac{9}{16} \geq \frac{2}{3\alpha}$.$27\alpha \geq 32 \Rightarrow \alpha \geq \frac{32}{27} = \frac{2^5}{3^3}$.अतः,न्यूनतम मान $\frac{2^5}{3^3}$ है।

मान लीजिए $f(x) = \alpha x^2 - 2 + \frac{1}{x}$,जहाँ $\alpha$ एक वास्तविक स्थिरांक है। वह न्यूनतम $\alpha$ जिसके लिए सभी $x > 0$ के लिए $f(x) \geq 0$ है,वह है

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