मान लीजिए n geq 3 है। संख्याओं की एक सूची 0

Question

(A) मूल सूची $x_1, x_2, \ldots, x_n$ का माध्य $\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ है।नई सूची $y_1=0, y_2=x_2, \ldots, y_{n-1}=x_{n-1}, y_n=x_1+x_n$ ह

Vedclass · Accepted Answer

$\mu=\hat{\mu}, \sigma \leq \hat{\sigma}$

Vedclass · Answer

(A) मूल सूची $x_1, x_2, \ldots, x_n$ का माध्य $\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ है।नई सूची $y_1=0, y_2=x_2, \ldots, y_{n-1}=x_{n-1}, y_n=x_1+x_n$ है।नई सूची का माध्य $\hat{\mu} = \frac{1}{n} (0 + x_2 + x_3 + \ldots + x_{n-1} + x_1 + x_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \mu$ है।अब,वर्गों का योग $\sum y_i^2 = 0^2 + x_2^2 + \ldots + x_{n-1}^2 + (x_1+x_n)^2$ पर विचार करें।इसका विस्तार करने पर,$\sum y_i^2 = x_2^2 + \ldots + x_{n-1}^2 + x_1^2 + x_n^2 + 2x_1x_n = \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2x_1x_n$ प्राप्त होता है।चूंकि $x_1 > 0$ और $x_n > 0$,इसलिए $2x_1x_n > 0$,अतः $\sum y_i^2 > \sum x_i^2$ है।प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \mu^2$ और $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - \hat{\mu}^2$ द्वारा दिया जाता है।चूंकि $\hat{\mu} = \mu$ और $\sum y_i^2 > \sum x_i^2$,इसलिए $\hat{\sigma}^2 > \sigma^2$,जिसका अर्थ है कि $\hat{\sigma} > \sigma$ है।अतः,$\mu = \hat{\mu}$ और $\sigma इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

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