मान लीजिए A आव्यूह left[begin{array}{ll}0 & i | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $A = \left[\begin{array}{ll}0 & i \ i & 0\end{array}ight]$।$A$ की घातों की गणना करने पर:$A^2 = \left[\begin{array}{ll}0 & i \ i &

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$\left[\begin{array}{ll}0 & i \ i & 0\end{array}ight]$

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(B) दिया गया है $A = \left[\begin{array}{ll}0 & i \ i & 0\end{array}ight]$।$A$ की घातों की गणना करने पर:$A^2 = \left[\begin{array}{ll}0 & i \ i & 0\end{array}ight] \left[\begin{array}{ll}0 & i \ i & 0\end{array}ight] = \left[\begin{array}{cc}i^2 & 0 \ 0 & i^2\end{array}ight] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \ 0 & -1\end{array}ight] = -I$.$A^3 = A^2 \cdot A = (-I) \cdot A = -A$.$A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I) \cdot (-I) = I$.चूँकि $A^4 = I$,$A$ की घातें $4$ के चक्र में दोहराती हैं: $I, A, -I, -A, I, \dots$।किन्हीं भी चार क्रमागत पदों का योग $I + A + A^2 + A^3 = I + A - I - A = 0$ है।श्रेणी $S = I + A + A^2 + \dots + A^{2010}$ है।कुल $2011$ पद हैं। चूँकि $2011 = 4 	imes 502 + 3$,योग में $4$ पदों के $502$ समूह (जिनका योग $0$ है) और शेष $3$ पद होंगे:$S = 502(0) + (I + A + A^2) = I + A - I = A$.अतः,$S = \left[\begin{array}{ll}0 & i \ i & 0\end{array}ight]$।

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