यदि A एक ऐसा आव्यूह है कि A^2 + A + 2I = O,तो | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $A^2 + A + 2I = O$ है। इसे $A(A + I) = -2I$ के रूप में लिखा जा सकता है। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर: $|A(A + I)| = |-2I|$। चूंक

Vedclass · Accepted Answer

$A$ एक सममित (symmetric) आव्यूह है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समीकरण $A^2 + A + 2I = O$ है। इसे $A(A + I) = -2I$ के रूप में लिखा जा सकता है। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर: $|A(A + I)| = |-2I|$। चूंकि $|A||A + I| = (-2)^2 |I| = 4$,इससे पता चलता है कि $|A| 
eq 0$। अतः,$A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,जिसका अर्थ है कि $A$ का प्रतिलोम आव्यूह मौजूद है। $|A| 
eq 0$ होने के कारण,$A$ शून्य आव्यूह $O$ नहीं हो सकता,इसलिए $A 
eq O$। $A(A + I) = -2I$ से,$A^{-1}$ से गुणा करने पर हमें $A^{-1} = -\frac{1}{2}(A + I)$ प्राप्त होता है। हालाँकि,ऐसी कोई शर्त नहीं दी गई है जो $A$ को सममित आव्यूह होने के लिए बाध्य करे। इसलिए,'$A$ सममित है' कथन आवश्यक रूप से सत्य नहीं है और यह $	ext{गलत}$ विकल्प है।

यदि $A$ एक ऐसा आव्यूह है कि $A^2 + A + 2I = O$,तो निम्नलिखित में से कौन सा $\text{गलत}$ है?

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यदि $A$ और $B$ दोनों $3 \times 3$ आव्यूह हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(i)$ $AB=0 \Rightarrow A=0$ या $B=0$
(ii) $AB=I_3 \Rightarrow A^{-1}=B$
(iii) $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $A^{3} - 23A - 40I = 0$ है।

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